Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點．

(1)若橢圓C上的點A(1，)到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標．

(2)設點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程．

(3)已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值，試寫出雙曲線＝1具有類似特性的性質并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由已知條件可寫出橢圓方程及代入法求軌跡，本題不是直接證明橢圓中的性質，而是類似地轉化到雙曲線中證明雙曲線具有的性質，用斜率公式及雙曲線方程即可得證． 　　解：(1)橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2． 　　又點A(1，)在橢圓上，因此＋＝1，b2＝3． 　　∴c2＝a2－b2＝1． 　　∴橢圓C的方程為＋＝1，焦點F1(－1，0)，F2(1，0)． 　　(2)設橢圓C上的動點為K(x1，y1)，線段F1K的中點Q(x，y)滿足x＝，y＝， 　　∴x1＝2x＋1，y1＝2y． 　　∴＋＝1，即(x＋)2＋＝1為所求的軌跡方程． 　　(3)類似的性質為：若M、N是雙曲線＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．設點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，其中＝1． 　　又設點P的坐標為(x，y)，由kPM＝， 　　kPN＝，得kPM·kPN＝·＝． 　　將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2，代入得kPM·kPN＝．

提示：

類比定義和性質是中學數學中最常考查的一類問題，它能很好地培養學生探索問題的能力，應該給予足夠的重視．有興趣的同學也可證明橢圓具有的性質．類比是研究圓錐曲線的一種方法．