Question

已知集合M={-1，1，3，5}和N={-1，1，2，4}．設關于x的二次函數f（x）=ax²-4bx+1（a，b∈R）．
（Ⅰ）若b=1時，從集合M取一個數作為a的值，求方程f（x）=0有解的概率；
（Ⅱ）若從集合M和N中各取一個數作為a和b的值，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由方程f（x）=ax²-4x+1=0有解，可得

a≠0 △=16-4a ≥0

，即 a≤4，且 a≠0．由于所有的a共有4個，而滿足條件的a有3個，由此求得方程f（x）=0有解的概率．
（Ⅱ）由于函數f（x）=ax²-4bx+1圖象的對稱軸為x=

2b

a

，要使y=f（x）在區間[1，+∞）上為增函數，應有a＞0且

2b

a

≤1，即a≥2b，且a＞0．求得滿足條件的（a，b）
有6個，而所有的（a，b）共有4×4=16個，由此求得函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

解答：解：（Ⅰ）因為b=1，由方程f（x）=ax²-4x+1=0有解，
所以，

a≠0 △=16-4a ≥0

，即 a≤4，且 a≠0．∵a∈M={-1，1，3，5}，∴a=-1，1，2，
故方程f（x）=0有解的概率為 P=

3

4

．------（6分）
（Ⅱ）由于二次函數f（x）=ax²-4bx+1圖象的對稱軸為x=

2b

a

，
要使y=f（x）在區間[1，+∞）上為增函數，應有a＞0且

2b

a

≤1，即a≥2b，且a＞0．
①若a=1，則b=-1；②若a=3，則b=-1，1；③若a=5，則b=-1，1，2．
而所有的（a，b）共有4×4=16個，∴所求概率為 P=

6

16

=

3

8

．----（14分）

點評：本題主要考查二次函數的性質應用，屬于基礎題．