Question

已知函數F(x)=kx2-2

4+2m-m2

x，G(x)=-

1-(x-k)2

(m，k∈R)
（1）若m，k是常數，問當m，k滿足什么條件時，函數F（x）有最大值，并求出F（x）取最大值時x的值；
（2）是否存在實數對（m，k）同時滿足條件：（甲）F（x）取最大值時x的值與G（x）取最小值的x值相同，（乙）k∈Z？
（3）把滿足條件（甲）的實數對（m，k）的集合記作A，設B={（m，k）|k²+（m-1）²≤r²，r＞0}，求使A⊆B的r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意函數F（x）有最大值，應滿足

k＜0 4+2m-m2≥0

，即二次函數有最大值，解得k、m、x的取值；
（2）由函數F（x）有最大值，G（x）有最小值；得m、k的值，求出滿足條件的實數對（m，k）；
（3）由A⊆B知，k⁴+（m-1）²=5成立時，k²+（m-1）²≤r²恒成立，求出r的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數F(x)=kx2-2

4+2m-m2

x，
∴當

k＜0 4+2m-m2≥0

時，
解得k＜0且1-

5

≤m≤1+

5

；
即當x=

4+2m-m2

k

時，F（x）有最大值．
（2）∵函數F(x)=kx2-2

4+2m-m2

x，
當x=

4+2m-m2

k

時，F（x）有最大值；
函數G（x）=-

1-(x-k)2

，
x=k時，G（x）有最小值；
∴

4+2m-m2

k

=k，得4+2m-m²=k⁴，
∴k⁴+（m-1）²=5，其中k為負整數，
當k=-1時，m=-1或者3，
∴存在實數對（3，-1），（-1，-1）滿足條件．
（3）由條件A⊆B知，
當k⁴+（m-1）²=5成立時，k²+（m-1）²≤r²恒成立，
因此，r2≥-k4+k2+5=-(k2-

1

2

)2+

21

4

恒成立，
當k2=

1

2

時，右邊取得最大值

21

4

，
因此r2≥

21

4

，
∵r＞0，
∴r≥

21

2

；
∴r的取值范圍是{r|r≥

21

2

}．

點評：本題考查了函數的最值以及函數與不等式的綜合應用，是綜合性的題目．