Question

設C₁是以F為焦點的拋物線y²=2px（p＞0），C₂是以直線與為漸近線，以為一個焦點的雙曲線．
（1）求雙曲線C₂的標準方程；
（2）若C₁與C₂在第一象限內有兩個公共點A和B，求p的取值范圍，并求的最大值；
（3）是否存在正數p，使得此時△FAB的重心G恰好在雙曲線C₂的漸近線上？如果存在，求出p的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設雙曲線C₂的方程，利用C₂是以直線與為漸近線，焦點是，即可求得雙曲線方程；
（2）拋物線方程與雙曲線方程聯立，可得一元二次方程，利用C₁與C₂在第一象限內有兩個公共點A和B，可得p的取值范圍；設A、B的坐標，用坐標表示，利用韋達定理及配方法，可得的最大值；
（3）由（2）知△FAB的重心G（，），即G（，），假設G恰好在雙曲線C₂的漸近線上，利用漸近線方程，即可求得結論．
解答：解：（1）因為一個焦點是，故焦點在y軸上，于是可設雙曲線C₂的方程為（a＞0，b＞0）
∵C₂是以直線與為漸近線，
∴
∵a²+b²=7
∴a=2，b=
∴雙曲線方程為；
（2）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（，0），與雙曲線方程聯立消y得：4x²-6px+12=0
∵C₁與C₂在第一象限內有兩個公共點A和B，∴△＞0，∴p＞
設A（m，n）、B（e，f），則=（m-，n）•（e-，f）=me-（m+e）×++nf=me-（m+e）×++2p
由方程知me=3，m+e=代入得=-+2p+3=-（p-2）²+9，函數的對稱軸為p=2
∵p＞，∴p=2時，的最大值為9；
（3）由（2）知△FAB的重心G（，）
∵n+f==
∴G（，）
假設G恰好在雙曲線C₂的漸近線上，則，∴
∴p=0或p=
∵p＞，∴p=
∴存在正數p=，使得此時△FAB的重心G恰好在雙曲線C₂的漸近線上．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查向量知識的運用，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．