Question

給出下列四個結論：
①已知△ABC中，三邊a，b，c滿足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，則∠C等于120°．
②若等差數列a_n的前n項和為S_n，則三點(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共線．
③等差數列a_n中，若S₁₀=30，S₂₀=100，則S₃₀=210．
④設f(x)=

1

2x+ 2

，則f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值為

9 2

2

．
其中，結論正確的是 ______．（將所有正確結論的序號都寫上）

Answer 1

①由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，得到（a+b）²-c²=3ab，化簡得：a²+b²-c²=ab，
則cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，根據C∈（0，180°），得到∠C=60°，所以此選項錯誤；
②因為

S10

10

=

10a1+ 10×9 2 d

10

=a₁+

9

2

d，同理

S100

100

=a₁+

99

2

d，

S110

110

=a₁+

109

2

d，
則

S100 100 - S10 10

100-10

=

(a1+ 99 2 d)-(a1+ 9 2 d)

90

=

d

2

=

S110 110 - S100 100

110-100

=

(a1+ 109 2 d)-(a1+ 99 2 d)

10

=

d

2

，
所以三點(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共線．此選項正確；
③根據等差數列的性質可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數列，
得到：2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），將S₁₀=30，S₂₀=100，
代入得：2（100-30）=30+（S₃₀-100），解得：S₃₀=210．此選項正確；
④因為f（x）+f（1-x）=

1

2x+ 2

+

1

21-x+ 2

=

1

2x+ 2

+

2x

2 + 2 •2x

=

2

2 (2x+ 2 )

+

2x

2+ 2 •2x

=

2 +2x

1 + 2 •2x

=

2 +2x

2 ( 2 +2x)

=

2

2

，
則f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）=

2

2

×9=

9 2

2

．此選項正確．
所以，正確的結論序號有：②③④．
故答案為：②③④