Question

如圖，寬為a的走廊與另一寬為b的走廊垂直相連，設細桿AC的長為l，∠ACD=α
（1）試用a，b，α表示l；
（2）當b=a時，求當細桿AC能水平通過拐角時l的最大值；
（3）當l=8a時，問細桿AC能水平通過拐角，則另一走廊寬b至少是多少？

Answer 1

分析：（1）由AB=

a

cosα

，BC=

b

sinα

，可表示出l，注意角α范圍；
（2）l=a(

1

cosα

+

1

sinα

)=

a(sinα+cosα)

sinαcosα

，令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），則l=a•

t

t2-1 2

=

2at

t2-1

，t∈(1，

2

]，利用導數可求得l的最小值，從而可得答案；
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•

sinα

cosα

，α∈(0，

π

2

)，利用導數可求得b的最小值；

解答：（解：（1）AB=

a

cosα

，BC=

b

sinα

，
∴l=AB+BC=

a

cosα

+

b

sinα

，∴l=

a

cosα

+

b

sinα

，α∈(0，

π

2

)；
（2）l=a(

1

cosα

+

1

sinα

)=

a(sinα+cosα)

sinαcosα

，
令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），
∵0＜α＜

π

2

，∴t∈(1，

2

]，sinαcosα=

t2-1

2

，
∴l=a•

t

t2-1 2

=

2at

t2-1

，t∈(1，

2

]，
而l′=

-2a(1+t2)

(t2-1)2

＜0，
∴l=

2at

t2-1

在t∈(1，

2

]上是減函數，且當t大于1且無限趨近于1時，l→+∞，∴l∈[4

2

，+∞），
∴細桿AC能水平通過拐角時l的最大值為4

2

．
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•

sinα

cosα

，α∈(0，

π

2

)，
b′=8acosα-

a

cos2α

=

a(8cos3α-1)

cos2α

=

a(2cosα-1)(4cos2α+2cosα+1)

cos2α

，
令b′=0，則cosα=

1

2

，α=

π

3

，
當0＜α＜

π

3

時，b′＜0；    當

π

3

＜α＜

π

2

時，b′＞0，
∴當α=

π

3

時，bmin=3

3

a，
∴另一走廊的寬至少為3

3

a．

點評：本題考查導數在解決實際問題中的應用，考查導數求函數的最值，考查學生對題目的理解分析能力．