Question

已知函數f（x）定義在區間，對任意x，y∈（-1，1），恒有成立，又數列{a_n}滿足．
（I）在（-1，1）內求一個實數t，使得；
（II）求證：數列{f（a_n）}是等比數列，并求f（a_n）的表達式；
（III）設，是否存在m∈N^*，使得對任意n∈N^*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，能求出實數t．
（II）由，且，知，由此能夠證明數列{f（a_n）}是等比數列，并能求出f（a_n）的表達式．
（III）由，知，則＜0，故{c_n}是減數列，由此能夠推導出存在m∈N^*，使得對任意n∈N^*，恒成立．
解答：解：（I），
∴…（2分）
（II）∵，
且，
∴，

即
∴{f（a_n）}是以-1為首項，2為公比的等比數列，
∴．…（6分）
（III）由（II）得，…（8分）
∴，…（9分）
則
=
=＜0，
∴{c_n}是減數列，
∴，
要使對任意n∈N^*恒成立，
只需，
即，
故，或，
∴0＜m＜，或，
∴當m≥12，且m∈N^*時，對任意n∈N^*恒成立，
∴m的最小正整數值為12．
點評：本題考查數列與函數的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．