Question

如圖所示的三棱錐A-BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，∠BAC=120°，若點P為△ABC內的動點滿足直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，則點P在△ABC內所成的軌跡的長度為              

Answer 1

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解析試題分析：因為∠BAD=90°，所以AD⊥AB,又AD⊥BC，且ABBC=B，所以AD⊥平面ABC。
在平面ABC內，取點P，連PA，則是DP與平面ABC所成角。
又因為AD=4，所以直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，須AP=2，即點P在△ABC內所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2 的圓的一部分。
而∠BAC=120°=，故點P在△ABC內所成的軌跡的長度為=。
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，角的計算，圓的定義，扇形弧長公式。
點評：典型題，綜合性較強，考查知識全面，可謂之是“證算并重題”，較好地考查了數形結合思想及學生的邏輯推理能力、計算能力。解答本題的關鍵是認識到“點P在△ABC內所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2 的圓的一部分。”