Question

（2006•寶山區二模）已知S_n是各項均為正數的遞減等比數列{a_n}的前n項之和，且a2=

1

2

，S3=

7

4

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設y=f（x）是偶函數，當x≤0時，f（x）=log₂（x+1），求f（x）的定義域D及其解析式；
（3）對于任意正整數n及（2）中的f（x），若不等式f（x）+S_n＜0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設數列{a_n}的公比為q，由題意可得方程組，聯立解得a₁，q，可得通項公式；（2）由對數函數的意義可得定義域，由函數的奇偶性可得解析式；（3）由（1）知S_n單調遞增，且

lim

n→∞

Sn=2，必有有f（x）+2≤0恒成立，分x≤0和x＞0分別討論可得．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公比為q，
由題意可知a2=a1q=

1

2

，
S3=

a1(1-q3)

1-q

=

7

4

，
聯立解得a₁=1，q=

1

2

故可得通項公式為：an=(

1

2

)n-1…（4分）
（2）由題意，當x≤0時，x+1＞0，即x＞-1，
又因為y=f（x）是偶函數，
所以D=（-1，1），…（6分）
設x∈（0，1）時，-x∈（-1，0），
故f（-x）=log₂（-x+1），
由偶函數可得f（x）=log₂（-x+1），
故可得解析式為：f(x)=

log2(1-x)，0＜x＜1 log2(1+x)，-1＜x≤0

…（9分）
（3）由（1）知S_n單調遞增，且

lim

n→∞

Sn=2，
因而，若f（x）+S_n＜0恒成立，
則有f（x）+2≤0恒成立．…（11分）
①當x≤0時，由log₂（x+1）+2≤0解得-1＜x≤-

3

4

…（13分）
②當x＞0時，由log₂（1-x）+2≤0解得

3

4

≤x＜1…（15分）
綜上，當x∈(-1，-

3

4

]∪[

3

4

，1)時，f（x）+S_n＜0恒成立．…（16分）

點評：本題考查等比數列的通項公式，涉及函數解析式的求解以及函數恒成立問題，屬中檔題．