Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，D是BC的中點，E是OC的中點．
（Ⅰ） 求證：BC⊥平面OAD；
（Ⅱ） 求O點到面ABC的距離；
（Ⅲ）求異面直線BE與AC所成的角．

Answer 1

分析：（I）在等腰Rt△OBC中根據中線，可以得到OD⊥BC，再用線面垂直證出OA⊥BC，最后用直線與平面垂直的判定定理，可以證出BC⊥平面OAD；
（II）在直角三角形OAD中作出斜邊AD上的高，可以利用BC⊥平面OAD證出OH⊥平面ABC，從而得到OH即為O點到面ABC的距離，最后利用題中給出的數據解直角三角形AOD，求出OD長即可；
（III）取OA的中點M，連EM、BM，利用三角形中位線定理，可得∠BEM是異面直線BE與AC所成的角．然后在三角形BEM中，分別求出EM、BE、BM的長度，最后利用余弦定理可以求得∠BEM的大小，異面直線BE與AC所成的角．

解答：解：（I）∵OB=OC，則OD⊥BC
∵OA⊥OB，OA⊥OC
∴OA⊥平面OBC
∴OA⊥BC結合OA∩OD=O
∴BC⊥平面OAD
（II）過O點作OH⊥AD于H，
∵BC⊥平面OAD，OH?平面OAD
∴OH⊥BC，結合OH⊥AD，BC∩AD=D
∴OH⊥面ABC，OH的長就是所要求的距離
等腰直角三角形OBC中，求出BC=2

2

，OD=

OC2-CD2

=

2

．
∵OA⊥OB，OA⊥OC，
∴OA⊥面OBC，則OA⊥OD．
又AD=

OA2+OD2

=

3

，故在直角△OAD中OH=

OA•OD

AD

=

2

3

=

6

3

．
（III）取OA的中點M，連EM、BM，則EM∥AC，
∠BEM是異面直線BE與AC所成的角．求得：
EM=

1

2

AC=

5

2

，BE=

OB2+OE2

=

5

，BM=

OM 2+OB2

=

17

2

，
在三角形BEM中，cos∠BEM=

BE2+EM2-BM2

2BE•EM

=

2

5

∴∠BEM=arccos

2

5

.

點評：本題是一道立體幾何綜合題，著重考查了直線與平面垂直的判定與性質、異面直線所成的角和點、線、面間的距離計算等知識點，屬于中檔題．