Question

矩形ABCD的中心在坐標原點，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，R′，S′，T′是線段CF的四等分點．設直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點依次為L，M，N．
（1）求以HF為長軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據條件可判定點L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）．
（3）設線段OF的n（n∈N₊，n≥2）等分點從左向右依次為R_i（i=1，2，…，n-1），線段CF的n等分點從上向下依次為T_i（i=1，2，…，n-1），那么直線ER_i（i=1，2，…，n-1）與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）

Answer 1

（1）由題意，2a=AB=8，2b=BC=6，
∴a=4，b=3，
∴橢圓Q的方程為

x2

16

+

y2

9

=1；
（2）由題意知E（0，-3），R（1，0），G（0，3），R′(4，

4

9

)
可得直線ER的方程為y=3x-3，直線GR′的方程為y=-

3

16

x+3
聯立可解得L(

96

51

，

135

51

)，代入橢圓方程

x2

16

+

y2

9

=1成立，得證．
（3）由（2）知，直線ER_i（i=1，2，…，n-1）與直線GT_i（i=1，2，…，n-1）的交點一定在橢圓Q上．