Question

設橢圓C：（a＞b＞0）的一個頂點坐標為A（），且其右焦點到直線的距離為3．
（1）求橢圓C的軌跡方程；
（2）若A、B是橢圓C上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點M，則稱弦AB是點M的一條“相關弦”，如果點M的坐標為M（），求證：點M的所有“相關弦”的中點在同一條直線上；
（3）對于問題（2），如果點M坐標為M（t，0），當t滿足什么條件時，點M（t，0）存在無窮多條“相關弦”，并判斷點M的所有“相關弦”的中點是否在同一條直線上．

Answer 1

解：（1）∵，a=2
∴橢圓C的標準方程：
（2）解法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為P₀（x₀，y₀）
，
由于，所以（Ⅰ）
則x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②兩式相減得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x₀=1
因此：點M的所有“相關弦”的中點在同一條直線x=1上．
解法二：設直線AB的方程為y=kx+b，k≠0，設AB中點為P₀（x₀，y₀）A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0
直線AB的中垂線方程為
把點代入得
可知
所以Q的橫坐標
即“相關弦”AB的中點在同一直線x=1上．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為P₀（x₀，y₀），
由于，所以（x₂-x₁）（t-x₀）+（y₂-y₁）（-y₀）=0（Ⅰ）
則x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②兩式相減得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x₀=2t-2＜2t＜2
因此：當-1＜t＜1點M的所有“相關弦”的中點在同一條直線x=2t上．
分析：（1）由，a=2，能求出橢圓C的標準方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為P₀（x₀，y₀），，，由于，所以，則x₁²+2y₁²，x₂²+2y₂²．所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能導出點M的所有“相關弦”的中點在同一條直線x=1上．
另解：設直線AB的方程為y=kx+b，k≠0，設AB中點為P₀（x₀，y₀）A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，，直線AB的中垂線方程為．由此能導出“相關弦”AB的中點在同一直線x=1上．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為P₀（x₀，y₀），，
由于，所以（x₂-x₁）（t-x₀）+（y₂-y₁）（-y₀）=0，則x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²．所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．由此能導出當-1＜t＜1點M的所有“相關弦”的中點在同一條直線x=2t上．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．