Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，設f（x）=a²x²-（a²-b²）x-4c²．
（1）若f(1)=0，且B-C=

π

3

，求角C的大小；
（2）若f（2）=0，求角C的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：a²-（a²-b²）-4c²=0，即可得到b=2c，根據正弦定理可得：sinB=2sinC，又B-C=

π

3

，可得sin(C-

π

6

)=0，再結合角C的范圍求出答案即可．
（2）由題意可得：a²+b²=2c²，根據余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

c2

2ab

再由2c²=a²+b²≥2ab可得ab≤c²，進而求出cosC的范圍即可根據余弦函數求出角C的范圍．

解答：解：（1）由題意可得：f（1）=0，
∴a²-（a²-b²）-4c²=0，
∴b²=4c²，即b=2c，
∴根據正弦定理可得：sinB=2sinC．
又B-C=

π

3

，可得sin(C+

π

3

)=2sinC，
∴sinC•cos

π

3

+cosC•sin

π

3

=2sinC，
∴

3

2

sinC-

3

2

cosC=0，
∴sin(C-

π

6

)=0．
又-

π

6

＜C-

π

6

＜

5π

6

，
∴C=

π

6

．
（2）若f（2）=0，則4a²-2（a²-b²）-4c²=0，
∴a²+b²=2c²，
∴根據余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

c2

2ab

．
又2c²=a²+b²≥2ab，
∴ab≤c²．
∴cosC≥

1

2

∴0＜C≤

π

3

．

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦函數，以及正弦定理與余弦定理等知識點，解決此類問題的關鍵是熟練掌握有關的公式與定理，并且進行正確的運算．