Question

【題目】如圖①，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，△BCD是等邊三角形.如圖②，將△BCD沿BC折起，使平面BCD⊥平面ABC，記BC的中點為E，BD的中點為M，點F、N在棱AC上，且AF＝3CF，C.

（1）試過直線MN作一平面，使它與平面DEF平行，并加以證明；

（2）記（1）中所作的平面為α，求平面α與平面BMN所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過作，交于，連結，推導出是的中點，從而，由此能證明平面平面．

（2）以為原點，為軸，為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

(1)過N作NG∥EF，交BC于G，連結MG，則平面MNG∥平面DEF.

理由如下：

∵EF∥NG，BC的中點為E，BD的中點為M，點F、N在棱AC上，且AF＝3CF，

C.

∴，

∴G是BE的中點，

∴MG∥DE，又DE∩EF＝E，MG∩NG＝G，

∴平面MNG∥平面DEF.

(2)以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，過點B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：

設BC＝2，則B(0，0，0)，D(1，0，)，M()，

A(0，2，0)，G(，0，0)，N(，，0)，

，，(0，0，，，0，

設平面BMN的法向量(x，y，z)，

則，取，得，，﹣1，

設平面GMN的法向量(x，y，z)，

則，取x＝1，得(1，﹣1，0)，

設平面α與平面BMN所成銳二面角的平面角為θ，

則cosθ.

∴平面α與平面BMN所成銳二面角的余弦值為.