Question

定義域為R的函數f（x）對任意x都有f（2+x）=f（2-x），且其導函數f′（x）滿足

f′(x)

2-x

＞0，則當2＜a＜4時f（2^a），f（2），f（log₂a）的大小關系為

 

．

Answer 1

分析：先根據條件求出函數的對稱軸，再求出函數的單調區間，然后判定2、log₂a、2^a的大小關系，根據單調性比較f（2）、f（log₂a）、f（2^a）的大小即可．

解答：解：∵函數f（x）對任意x都有f（2+x）=f（2-x），
∴函數f（x）的對稱軸為x=2
∵導函數f′（x）滿足

f′(x)

2-x

＞0，，
∴函數f（x）在（2，+∞）上單調遞減，（-∞，2）上單調遞增
∵2＜a＜4
∴2＜log₂a＜2^a
∴f（2）＞f（log₂a）＞f（2^a），
故答案為：f（2^a）＜f（log₂a）＜f（2）．

點評：本題主要考查了導數的運算，以及奇偶函數圖象的對稱性和比較大小，同時考查了數形結合的思想，該題有一定的思維量，屬于基礎題之列．