Question

已知

a

=(-

3

sinωx，cosωx)，

b

=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，令函數f(x)=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）可利用向量的坐標運算公式結合正弦與余弦的二倍角公式化簡函數的表達式，由最小正周期為π即可求得ω的值；
（2）直接利用正弦函數的單調增區間于函數的單調減區間，即可求f（x）的單調區間．

解答：解：（1）f（x）=-

3

sinωxcosωx+cos2ωx=-

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=-sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

．
∵ω＞0，∴T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1．
（2）由（1）可知f（x）=-sin（2x-

π

6

）+

1

2

．
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z函數是減函數．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得kπ+

2π

3

≤x≤kπ+

5π

3

，k∈Z函數是增函數．
所以函數的單調減區間為[kπ-

π

3

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
函數的單調增區間為[kπ+

2π

3

，kπ+

5π

3

]，k∈Z．

點評：本題考查平面向量數量積的運算，正弦函數的定義域和值域及正弦函數的單調性，著重考查正弦函數的圖象與性質的綜合應用，屬于中檔題．