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【題目】某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買臺機器人的總成本萬元．

（1）若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？

（2）現按（1）中的數量購買機器人，需要安排人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀，經實驗知，每臺機器人的日平均分揀量（單位：件），已知傳統人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機器人前的用人數量最多可減少多少？

【答案】（1）300臺（2）90

【解析】

（1）由總成本萬元,可得每臺機器人的平均成本,然后利用基本不等式求最值；

（2）引進機器人后,每臺機器人的日平均分揀量,分段求出300臺機器人的日平均分揀量的最大值及所用人數,再由最大值除以1200,可得分揀量達最大值時所需傳統分揀需要人數,則答案可求．

解:（1）由總成本,可得

每臺機器人的平均成本,

當且僅當,即時,等號成立,

∴若使每臺機器人的平均成本最低,則應買300臺；

（2）引進機器人后,每臺機器人的日平均分揀量,

當時,300臺機器人的日平均分揀量為,

∴當時,日平均分揀量有最大值144000；

當時,日平均分揀量為,

∴300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144000件．

若傳統人工分揀144000件,則需要人數為（人）．

∴日平均分揀量達最大值時,用人數量比引進機器人前的用人數量最多可減少．

練習冊系列答案

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【題目】某市正在進行創建全國文明城市的復驗工作，為了解市民對“創建全國文明城市”的知識知曉程度，某權威調查機構對市民進行隨機調查，并對調查結果進行統計，共分為優秀和一般兩類，先從結果中隨機抽取100份，統計得出如下列聯表：

	優秀	一般	總計
男	25	25	50
女	30	20	50
總計	55	45	100

（1）根據上述列聯表，是否有的把握認為“創城知識的知曉程度是否為優秀與性別有關”？

（2）現從調查結果為一般的市民中，按分層抽樣的方法從中抽取9人，然后再從這9人中隨機抽取3人，求這三位市民中男女都有的概率；

（3）以樣本估計總體，視樣本頻率為概率，從全市市民中隨機抽取10人，用表示這10人中優秀的人數，求隨機變量的期望和方差.

附：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（其中）.

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【題目】已知橢圓的左焦點坐標為，，分別是橢圓的左，右頂點，是橢圓上異于，的一點，且，所在直線斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于，兩點（異于點）.當直線，的斜率之和為定值時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理.

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【題目】在“互聯網+”時代的今天，移動互聯快速發展，智能手機（Smartphone）技術不斷成熟，尤其在5G領域，華為更以件專利數排名世界第一，打破了以往由美、英、日壟斷的前三位置，再次榮耀世界，而華為的價格卻不斷下降，遠低于蘋果；智能手機成為了生活中必不可少的工具，學生是對新事物和新潮流反應最快的一個群體之一，越來越多的學生在學校里使用手機，為了解手機在學生中的使用情況，對某學校高二年級名同學使用手機的情況進行調查，針對調查中獲得的“每天平均使用手機進行娛樂活動的時間”進行分組整理得到如下的數據：

使用時間（小時）	1	2	3	4	5	6	7
所占比例	4%	10%	31%	16%		12%	2%

（1）求表中的值；

（2）從該學校隨機選取一名同學，能否根據題目中所給信息估計出這名學生每天平均使用手機進行娛樂活動小于小時的概率？若能，請算出這個概率；若不能，請說明理由；

（3）若從使用手機小時和小時的兩組中任取兩人，調查問卷，看看他們對使用手機進行娛樂活動的看法，求這人都使用小時的概率.

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【題目】我市某區2018年房地產價格因“棚戶區改造”實行貨幣化補償，使房價快速走高，為抑制房價過快上漲，政府從2019年2月開始采用實物補償方式（以房換房），3月份開始房價得到很好的抑制，房價漸漸回落，以下是2019年2月后該區新建住宅銷售均價的數據：

月份	3	4	5	6	7
價格（百元/平方米）	83	82	80	78	77

（1）研究發現，3月至7月的各月均價（百元/平方米）與月份之間具有較強的線性相關關系，求價格（百元/平方米）關于月份的線性回歸方程；

（2）用表示用（1）中所求的線性回歸方程得到的與對應的銷售均價的估計值，3月份至7月份銷售均價估計值與實際相應月份銷售均價差的絕對值記為，即，.若，則將銷售均價的數據稱為一個“好數據”，現從5個銷售均價數據中任取2個，求抽取的2個數據均是“好數據”的概率.

參考公式：回歸方程系數公式，；參考數據：，.

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【題目】如圖，直三棱柱中，，、、分別是線段、、的中點，，，在線段上運動，設.

（1）證明：；

（2）是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.

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【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數與燒開一壺水所用時間的一組數據，且作了一定的數據處理（如下表），得到了散點圖（如下圖）.

表中，.

（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型？（不必說明理由）

（2）根據判斷結果和表中數據，建立關于的回歸方程；

（3）若單位時間內煤氣輸出量與旋轉的弧度數成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為，

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【題目】手工藝是一種生活態度和對傳統的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關，若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級，若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級.已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立.