Question

對一切實數x，若一元二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＜b）的值恒為非負數，則M=

a+b+c

b-a

的最小值為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由于二次函數的值恒為非負數，推出a＞0，△≤0得到c≥

b2

4a

，化簡所求表達式，通過二次函數對應的根的范圍，結合韋達定理，求出a的范圍即可．

解答：解：由于二次函數的值恒為非負數，所以，a＞0，△=b²-4ac≤0⇒c≥

b2

4a

，
所以，M=

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

1+ b a +  1 4 ( b a )2

b a -1

，
可以設y=

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a -1

⇒

1

4

•(

b

a

)2 +(1-y)•

b

a

+1+y=0，
因為△≥0⇒y≥3或者y≤0
由于0＜a＜b 所以，

1

4

•(

b

a

)2 +(1-y)•

b

a

+1+y=0的兩根之和為：4（y-1）＞2⇒y＞

3

2

，
所以，y≥3 所以，所求表達式的最小值為3．
故選C．

點評：本題是中檔題，考查二次函數判別式的應用，考查韋達定理的應用，考查計算能力．