Question

（2013•佛山一模）已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點與頂點，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  2

• C．

  3

  3

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：先根據雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點與頂點，確定雙曲線的頂點與焦點，再根據雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構成的四邊形恰為正方形，確定雙曲線的漸近線，從而求出橢圓的離心率．

解答：解：∵雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點與頂點
∴雙曲線的頂點是(±

a2-b2

，0)，焦點是（±a，0）
設雙曲線方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)
∴雙曲線的漸近線方程為y=±

n

m

x
∵m=

a2-b2

，n2=a2-m2=b2
∴n=b
∵雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構成的四邊形恰為正方形
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x
∴m=n
∴a²-b²=b²
∴c²=a²-c²
∴a²=2c²
∴a=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

故選D．

點評：本題以橢圓方程為載體，考查雙曲線的幾何性質，考查橢圓的離心率，正確運用幾何量的關系是關鍵．