Question

已知函數f（x）在R上可導，其導函數為f′（x），若f（x）滿足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，f（2-x）=f（x）e^2-2x，則下列判斷一定正確的是（　　）

A．f（1）＜f（0）

B．f（2）＞ef（0）

C．f（3）＞e³f（0）

D．f（4）＜e⁴f（0）

Answer 1

分析：由已知f（2-x）=f（x）e^2-2x，變形得

f(2-x)

e2-x

=

f(x)

ex

，因此考慮可構造函數g（x）=

f(x)

ex

，可得g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

．利用已知f（x）滿足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，即可得出f（x）單調遞減．可得g（-1）＞g（0）．即

f(-1)

e-1

＞

f(0)

e0

=f(0)．利用f（2-x）=f（x）e^2-2x，可得f（3）=f（-1）e⁴＞e^-1f（0）•e⁴=e³f（0）．即可

解答：解：令g（x）=

f(x)

ex

，則g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

．
∵f（x）滿足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，
∴當x＜1時，f′（x）-f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此時函數g（x）單調遞減．
∴g（-1）＞g（0）．即

f(-1)

e-1

＞

f(0)

e0

=f(0)．
∵f（2-x）=f（x）e^2-2x，∴f（3）=f（-1）e⁴＞e^-1f（0）•e⁴=e³f（0）．
故選C．

點評：本題考查了利用函數的導數研究函數的單調性基本方法，恰當構造函數是解題的關鍵，屬于中檔題．