Question

【題目】如圖，長方體的底面為正方形，，，，，是棱的中點，平面與直線相交于點．

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）推導出，設點為的中點，連接，，推導出平面，平面，從而平面平面，由此能證明平面；

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出二面角的正弦值．

（1）證明：平面平面，

平面平面，

平面平面，

，由題意得，

設點為的中點，連接，，

是棱的中點，，

平面，平面，

平面，

，，

，

平面，平面，

平面，

，

平面平面，

平面，

平面；

（2）解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

，，

∴，，，，

，，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，

設平面的法向量，

則，取，得，

設二面角的平面角為，

由，

，

二面角的正弦值為．