Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（1，-2）．
（1）求拋物線C的標準方程，并求其準線方程；
（2）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線l，使得直線OA與l的距離等于

5

5

？若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由．
（3）過拋物線C的焦點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設l₁與拋物線C相交于點M，N，l₂與拋物線C相交于點D，E，求

MD

•

NE

的最小值．

Answer 1

分析：（1）把點（1，-2）代入拋物線方程即可得出；
（2）假設存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t，與拋物線方程聯立，由于直線l與拋物線C有公共點，可得△=4+8t≥0，解得t的取值范圍．利用點到直線的距離可得：直線OA與l的距離d=

5

5

，可得

|t|

5

=

1

5

，解得t．
（3）由題意可知：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設直線l₁的斜率為k≠0，則l₁的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯立可得根與系數的關系；由于l₁⊥l₂，可得直線l₂的斜率為-

1

k

，方程為y=-

1

k

(x-1)，設D（x₃，y₃），B（x₄，y₄）．與拋物線方程可得根與系數的關系．再利用向量的數量積運算和基本不等式即可得出．

解答：解：（1）將（1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=2p×1，解得p=2．
故所求拋物線C的方程為y²=4x，其準線方程為x=-1．
（2）假設存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t，
由

y=-2x+t y2=4x

得y²+2y-2t=0．
∵直線l與拋物線C有公共點，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-

1

2

，
由直線OA與l的距離d=

5

5

，可得

|t|

5

=

1

5

，解得t=±1．
∵-1∉[-

1

2

，+∞)，1∈[-

1

2

，+∞)，
∴符合題意的直線l存在，其方程為2x+y-1=0．
（3）由題意可知：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
設直線l₁的斜率為k≠0，則l₁的方程為y=k（x-1），聯立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴直線l₂的斜率為-

1

k

，方程為y=-

1

k

(x-1)，設D（x₃，y₃），B（x₄，y₄）．
聯立

y=- 1 k (x-1) y2=4x

，化為x²-（2+4k²）x+1=0，
∴x3+x4=2+4k2，x₃x₄=1．
∴

MD

•

NE

=(

MF

+

FD

)•(

NF

+

FE

)
=

MF

•

NF

+

MF

•

FE

+

FD

•

NF

+

FD

•

FE

=|

MF

| |

FN

|+|

EF

| |

FD

|
=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+x₁+x₂+x₃x₄+x₃+x₄+2
=1+2+

4

k2

+1+2+4k²+2
=8+4(k2+

1

k2

)≥8+4×2×

k2• 1 k2

=16，當且僅當k=±1時取等號．
∴當k=±1時，

MD

•

NE

的最小值為16．

點評：熟練掌握直線與拋物線的相交問題轉化為與拋物線方程聯立得到一元二次方程、根與系數的關系、弦長公式數量積計算公式等是解題的關鍵．