Question

設定義域在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，f′（x）是f（x）的導函數，當∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；x∈（0，π）且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0，則方程f（x）=cosx在[-2π，2π]上的根的個數（　　）

A．2

B．5

C．4

D．8

Answer 1

分析：由題意x∈（0，π） 當x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0以

π

2

為分界點進行討論，確定函數的單調性，利用函數的圖形，畫出草圖進行求解，即可得到結論

解答：解：∵當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，f（x）為偶函數，
∴當x∈[-π，0]時，0＜f（x）＜1；
又∵f（x）的最小正周期為2π
∴當x∈[-2π，2π]時，0＜f（x）＜1；
∵x∈（0，π）且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0
∴當x∈（0，

π

2

）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（

π

2

，π）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減
y=f（x）與y=cosx的草圖如下：

∴方程f（x）=cosx在[-2π，2π]上的又4個根
故選C

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的零點，考查函數的周期性與奇偶性，利用數形結合的思想來求解，會化難為易