Question

設S_n為數列{a_n}的前n項和，對任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m為常數，且m＞0）．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列．
（2）設數列{a_n}的公比q=f（m），數列{b_n}滿足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求數列{b_n}的通項公式．
（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前n項和T_n

Answer 1

【答案】分析：（1）當n≥2時，根據a_n=S_n-S_n-1，進而得出a_n和a_n-1的關系整理得，因m為常數，進而可證明當n≥2時數列{a_n}是等比數列．，當n=1時等式也成立，原式得證．
（2）根據（1）可得f（m）的解析式．再根據b_n=f（b_n-1）整理可得進而推知數列{b_n}為等差數列，首項為2a₁，公差為1，再根據等差數列的通項公式可得答案．
（3）把（2）中的b_n代入，再通過錯位相減法求得T_n
解答：解：（1）證明：當n=1時，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m為常數，且m＞0，∴（n≥2）．
∴數列{a_n}是首項為1，公比為的等比數列．
（2）解：由（1）得，q=f（m）=，b₁=2a₁=2．
∵，
∴，即（n≥2）．
∴是首項為，公差為1的等差數列．
∴，即（n∈N^*）．
（3）解：由（2）知，則．
所以，
即T_n=2¹×1+2²×3+2³×5++2^n-1×（2n-3）+2ⁿ×（2n-1），①
則2T_n=2²×1+2³×3+2⁴×5++2ⁿ×（2n-3）+2ⁿ⁺¹×（2n-1），②
②-①得T_n=2ⁿ⁺¹×（2n-1）-2-2³-2⁴--2ⁿ⁺¹，
故．
點評：本題主要考查等比數列的性質．當出現等比數列和等差數列相乘的形式時，求和可用錯位相減法．