Question

在數列中，，，且；

（1）設，證明是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項；

Answer 1

（1）略（2）（3）證明略

解析:

本題源自等差數列通項公式的推導。

（1）證明：由題設（），得

，即，．

又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．

（2）由（1），

　　　　　　　　，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，（）．

將以上各式相加，得（）．

所以當時，

上式對顯然成立．

（3）由（2），當時，顯然不是與的等差中項，故．

由可得，由得，　①

整理得，解得或（舍去）．于是．

另一方面，，

　　　　　．

由①可得，．

所以對任意的，是與的等差中項．