Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中， 平面是的中點， 是上的點且為邊上的高.

（1）證明： 平面；

（2）若，求三棱錐的體積；

（3）在線段上是否存在這樣一點，使得平面?若存在，說出點的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）中點.

【解析】試題分析：（1）平面， 為中邊上的高， ，由線面垂直的判定定理能夠證明平面；（2）連接，取中點，連接是中點， ， 平面， 平面，由根據棱錐的體積公式能夠求出三棱錐的體積；（3）取的中點，連接，則因為是的中點，先證明，再證明以平面，可得面，即 與 重合時符合題意.

試題解析：（1），又平面，平面，

又，平面

（2）是的中點，到平面的距離等于點到平面距離的一半，即=，又因為，所以三棱錐；

（3）取的中點，連接、，則因為是的中點，所以，且，又因為且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，由（1）知平面，所以,又因為，所以，因為，所以平面，因為ED//DQ，所以面．M為PB中點.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及棱錐的體積公式，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質；（4）利用面面垂直的性質，當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.