Question

用總長44.8m的鋼條制做一個底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰長比底邊長的一半長1m，那么底面的底邊，腰及容器的高為多少時容器的容積最大？（參考數據2.66²=7.0756，3.34²=11.1556）

Answer 1

分析：設出底面邊長為2x，用x表示出三棱柱的底面的腰長，三棱柱的高，從而得到三棱柱的體積與x的函數關系是解決本題的關鍵，可以利用導數為工具確定出最大容積時候的x的值，實現該問題的解答．

解答：解：設容器底面等腰三角形的底邊長為2xm，則腰長為（x+1）m，
高為

44.8-4x-4(x+1)

3

=

40.8-8x

3

m，
設容器的容積為Vm³，底面等腰三角形底邊上的高為h=

(x+1)2-x2

=

2x+1

，∴V=

1

2

•2x

2x+1

•

40.8-8x

3

=

40.8x 2x+1 -8x2 2x+1

3

，由x＞0及

40.8-8x

3

＞0，得0＜x＜5.1，
V′=

40.8(2x+1)+40.8x-16x(2x+1)-8x2

3 2x+1

=

-40x2+106.4x+40.8

3 2x+1

，
令V′=0，得x²-2.66x-1.02=0，（x-3）（x+0.34）=0，由x＞0，解得x=3
當0＜x＜3時V′＞0；3＜x＜5.1時，V′＜0，因此，當x=3時，V有最大值．
答：容器的底面等腰三角形的底邊長為6m，腰長為4m，容器的高為5.6m時容器的體積最大．

點評：本題考查函數的模型思想和意識，考查設未知數表示函數關系的思想，注意實際問題函數的定義域，依據給出的函數表達式利用導數為工具確定所給函數的最值，考查學生的導數工具意識．