Question

如圖所示，已知A、B、C是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的三點(diǎn)，，BC過(guò)橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：由B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，所以|BC|=2|AC|可得|OC|=|AC|，由此可得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由AC⊥BC可求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)C在橢圓上可求得a、b、c的一個(gè)關(guān)系式，結(jié)合橢圓中a²=b²+c²，即可求出離心率．

解答：解：由|BC|=2|AC|可得|OC|=|AC|，所以C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

a

2

，設(shè)C（

a

2

，y），
由AC⊥BC，則y2=

a2

4

，又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，代入橢圓方程得：

a2

b2

=3，
所以e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

2

3

，所以e=

6

3

，
故答案為：

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求解，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力．