Question

已知平面上一定點C（4，0）和一定直線為該平面上一動點，作，垂足為Q，且.

   （1）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；

   （2）設直線與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過點D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）P點在雙曲線上，其方程為

（2）滿足題意的k值存在，且k值為

解析:

（1）設P的坐標為，由得

（2分） ∴（（4分）

化簡得   ∴P點在雙曲線上，其方程為（6分）

   （2）設A、B點的坐標分別為、，

由  得（7分）

，（8分）

∵AB與雙曲線交于兩點，∴△>0，即

解得（9分）

∵若以AB為直徑的圓過D（0，－2），則AD⊥BD，∴，

即，（10分）

∴

∴

解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.