Question

（2006•松江區模擬）（理）設函數f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積．已知函數y=sinnx在[0，

π

n

]上的面積為

2

n

(n∈N*)，則函數y=cos3x+1在[0，

5π

6

]上的面積為

5π+2

6

．

Answer 1

分析：將y=cos3x+1化成y=sin（3x+

π

2

）+1，令t=x+

π

6

，則y=sin3t+1．t∈[

π

6

，π]．函數y=sinnx與函數y=sin3t類比，可以得出函數y=sin3t在[0，

π

3

]上的面積為

2

3

，在[0，

π

6

]上的面積為在[0，

π

3

]上的面積的一半，等于

1

3

．再結合圖象，準確地利用已知數據表示出陰影面積并計算即可．

解答：解：y=cos3x+1=sin（3x+

π

2

）+1，令t=x+

π

6

，則y=sin3t+1．t∈[

π

6

，π]
在函數y=sinnx中，令n=3，得出函數y=sin3x在[0，

π

3

]上的面積為

2

3

．在[0，

π

6

]上的面積為在[0，

π

3

]上的面積的一半，等于

1

3

．
 
 
函數y=cos3t+1圖象由y=sin3t圖象向上平移一個1個單位得到．
陰影部分面積為

1

3

+(1×

5π

6

-

2

3

)+

2

3

  =

5π+2

6

故答案為：

5π+2

6

．

點評：本題考查不規則圖象的面積求解，要充分利用已知信息，將所求問題進行轉化．本題首先將函數名稱由余弦化成正弦，再進行換元，以滿足已知信息模型，在具體求解時，將不規則部分利用規則部分與已知數值表示．