Question

如圖，F₁，F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的焦點，P為橢圓上的點，PF₁⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長軸頂點A和短軸頂點B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點，證明∠F₁QF₂≤

π

2

（3）過F₁與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△M F₂N的面積為20

3

，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意可表示出MP坐標，進而表示出直線OP的斜率和AB的斜率利用二者相等求得b和c的關系進而求得a和c的關系，則離心率可得．
（2）利用橢圓的定義可表示出|F_1Q|+|F_2Q|，進而利用余弦定理表示出cos∠F₁QF₂，利用基本不等式可得cos∠F₁QF₂的范圍進而求得∠F₁QF₂的范圍．
（3）設出直線MN的方程，代入橢圓方程消去x整理后利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁•y₂，進而求得|y₁-y₂|代入三角形面積公式求得求得c，進而可分別求得a和b，則橢圓的方程可得．

解答：解：（1）易得 P(-c，

b2

a

)，kOP=

b2

-ac

，kAB=-

b

a

，
∴-

b2

ac

=-

b

a

⇒b=c⇒a=

2

c，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）證明：由橢圓定義得：|F₁Q|+|F₂Q|=2a，
所以cos∠F1QF2=

|F1Q|2+|F2Q|2-|F1F2|2

2|F1Q||F2Q|

=

4a2-4c2-2|F1Q||F2Q|

2|F1Q||F2Q|

=

2b2

|F1Q||F2Q|

-1，
因為|F1Q||F2Q|≤(

|F1Q|+|F2Q|

2

)2=a2，
∴cos∠F1QF2≥

2b2

a2

-1=

2c2

2c2

-1=0，
∴∠F1QF2≤

π

2

．
（3）解：設直線MN的方程為 y=

a

b

（x+c），即y=

2

(x+c)．
代入橢圓方程消去x得：

(1- 1 2 y+c)2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得：5y2-2

2

cy-2c2=0，
∴y1+y2=

2 2 c

5

，y1•y2=-

2c2

5

．
∴(y1-y2)2=(

2 2 c

5

)2+

8c2

5

=

48c2

25

．
因為S△PF2Q=

1

2

•2c•|y1-y2|=

4 3 c2

5

=20

3

，
所以c²=25
因此a²=50，b²=25，
所以橢圓方程為

x2

50

+

y2

25

=1．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解決直線與圓錐曲線的位置關系一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯立，利用韋達定理找突破口．考查了學生綜合分析問題和計算能力．