Question

設f（x）=x³-kx（k＞0）．
（1）若f′（2）=0，求f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若函數f（x）=x³-kx（k＞0）在[1，+∞）上是單調函數，
（Ⅰ）求證：0＜k≤3；（Ⅱ）設x₀≥1，f（x₀）≥1，且滿足f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）求導數，確定切線的斜率，求出切點的坐標，即可得到切線方程；
（2）（Ⅰ）f（x）在[1，+∞）上是單調函數，即f'（x）≤0或f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，從而解出k；
（Ⅱ）可設f（x₀）=m，再由f（x）=x³-kx（k＞0），證明m=x₀即可．

解答：解：（1）由f（x）=x³-kx（k＞0），得到f′（x）=3x²-k（k＞0），
∵f′（2）=0，∴f′（2）=3×2²-k=0，即k=12
則f（x）=x³-12x，f（2）=2³-12×2=-16，
故f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y+16=0．
（2）證明：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-k（k＞0）
又函數f（x）=x³-kx（k＞0）在[1，+∞）上是單調函數，
則①若函數f（x）=x³-kx（k＞0）在[1，+∞）上是增函數，則在[1，+∞）上f′（x）≥0恒成立，
即在[1，+∞）上恒有3x²≥k，故k≤3，又由k＞0，∴0＜k≤3；
②若函數f（x）=x³-kx（k＞0）在[1，+∞）上是減函數，則在[1，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即在[1，+∞）上恒有3x²≤k，故k不存在；
綜上，0＜k≤3．
（Ⅱ）設f（x₀）=m，則由f（f（x₀））=x₀
得到f（m）=x₀，又f（x）=x³-kx（k＞0）
∴

x03-kx0=m m3-km=x0

兩式相減得到（x03-m3）-k（x₀-m）=m-x₀
即(x0-m)(x02+m2+x0m+1-k)=0
∵x₀≥1，f（x₀）≥1即m≥1，
∴x02+m2+x0m+1-k≥4-k，而0＜k≤3，
∴x02+m2+x0m+1-k≥1＞0，從而只有x₀-m=0，即m=x₀，
∴f（x₀）=x₀．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．