Question

已知函數 f(x)=

0 (x=0) n[x-(n-1)]+f(n-1) (n-1＜x≤n，n∈N*)

．設S（a） （a≥0）是由x軸、y=f（x）的圖象以及直線x=a所圍成的圖形面積，當n∈N*時，S（n）-S（n-1）-f(n-

1

2

)=

0

．

Answer 1

分析：由已知中函數 f(x)=

0 (x=0) n[x-(n-1)]+f(n-1) (n-1＜x≤n，n∈N*)

的解析式，我們易求出f（0），f（1），f（2），f（3），f（4）…的值，進而得到n∈N時，函數的f（n）的解析式，結合S（a） 是由x軸、y=f（x）的圖象以及直線x=a所圍成的圖形面積，我們可求出S（n）-S（n-1）與f(n-

1

2

)的表達式，進而得到答案．

解答：解：由已知中函數 f(x)=

0 (x=0) n[x-(n-1)]+f(n-1) (n-1＜x≤n，n∈N*)

．
可得：f（0）=0，f（1）=1，f（2）=3，f（3）=6，f（4）=10，…，f（n）=

1

2

（n²+n），
又∵S（a） 是由x軸、y=f（x）的圖象以及直線x=a所圍成的圖形面積，
∴S（n）-S（n-1）=

1

2

[f（n-1）+f（n）]
f(n-

1

2

)=

1

2

[f（n-1）+f（n）]．
故S（n）-S（n-1）-f(n-

1

2

)=0
故答案為：0

點評：本題考查的知識點是分段函數的解析式，及分段函數的函數值，其中根據已知條件求出S（n）-S（n-1）與f(n-

1

2

)的表達式，是解答本題的關鍵．