【題目】已知函數
(Ⅰ)若
，求
在
處的切線方程；
(Ⅱ)證明：對任意正數
，函數
和
的圖像總有兩個公共點.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析：（I）先根據導數幾何意義得切線的斜率
,再根據點斜式得切線方程；（Ⅱ）函數
和
的圖像總有兩個公共點，等價于
總有兩個實數根.變量分離得
，再根據導數研究函數
單調性，結合圖像確定有兩個交點的條件，即得證.
試題解析：（I）
時，則
在
處的切線的斜率
又
時， 
即切點
，
所以
在
處的切線方程為：
，即
（Ⅱ）法一：
記
則
（已知
）.
因為
有意義， 
所以
所以
在
單調遞減，在
單調遞增，
故
記
因為
所以
在
單調遞增，在
單調遞減，
故
故
恒成立，即
又
時， 
時， 
，
故
在
和
各有一個零點，
即
和
的圖像在
和
各有且只有一個公共點.
法二：函數
和
的圖像總有兩個公共點，等價于
總有兩個實數根.
顯示
不是該方程的根.
當
時， 
記
則
再記
因為
所以
在
單調遞增，在
單調遞減
所以
即
從而
在
和
均單調遞增，
又
時， 
時， 
時， 
，
又
時， 
時， 
時， 
，
的草圖如圖：
故對任意的正數
，直線
與
的圖像總有兩個公共點，
即方程
總有兩個根，
即函數
和
的圖像總有兩個公共點，命題得證.
綜合自測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，過點A作⊙O的切線EP交CB的延長線于P，∠PAB=35°． 
（1）若BC是⊙O的直徑，求∠D的大�。�
（2）若∠PAB=35°，求證： 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點.
（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定實數t的值，使PA∥平面MQB；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某運輸公司有7輛可載
的
型卡車與4輛可載
的
型卡車，有9名駕駛員，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬運
瀝青的任務，已知每輛卡車每天往返的次數為
型車8次， 
型車6次，每輛卡車每天往返的成本費為
型車160元， 
型車252元，每天派出
型車和
型車各多少輛，公司所花的成本費最低？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1． 
（1）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
（2）在線段CP上是否存在一點E，使得DE⊥PB，若存在，求線段CE的長度，不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在正方體
中，點
是棱
上的一個動點，平面
交棱
于點
．給出下列命題：
①存在點
，使得
//平面
；
②對于任意的點
，平面
平面
；
③存在點
，使得
平面
；
④對于任意的點
，四棱錐
的體積均不變.
其中正確命題的序號是______．（寫出所有正確命題的序號）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使| A1B1|=| A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A. （
，2] B. [
，2） C. （
，+
） D. [
，+
）
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