Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D是BC的中點，P是CC₁的中點．求證：
（1）A₁B∥平面AC₁D；
（2）B₁P⊥平面AC₁D．

Answer 1

證明：（1）連接A₁C交AC₁于點O，連接OD，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，∴側面AA₁C₁C是正方形，
∴點O是AC₁的中點，又點D是BC的中點，故OD是△A₁CB的中位線．
∴OD∥A₁B，又A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D． …（7分）
（2）由（1）知，側面BCC₁B₁是正方形，又D、P分別為BC、CC₁的中點，∴△CC₁D≌△C₁B₁P，
∴∠CDC₁=∠C₁PB₁，∴B₁P⊥C₁D，…（9分）
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，∴AD⊥BC，又側面BCC₁B₁⊥底面ABC，且側面BCC₁B₁∩底面ABC=BC，
AD?底面ABC，∴AD⊥平面BCC₁B₁，…（12分）
又B₁P?平面BCC₁B₁，∴AD⊥B₁P，又AD∩C₁D=D，∴B₁P⊥平面AC₁D．…（14分）
分析：（1）連接A₁C交AC₁于點O，連接OD，根據OD是△A₁CB的中位線可得OD∥A₁B，又A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D，從而證得
A₁B∥平面AC₁D．
（2）由（1）知，∴△CC₁D≌△C₁B₁P，故∠CDC₁=∠C₁PB₁，B₁P⊥C₁D．再由AD⊥平面BCC₁B₁，可得AD⊥B₁P，從而證得
B₁P⊥平面AC₁D．
點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，直線和平面平行的判定定理以及直線和平面垂直的判定定理的應用求，屬于中檔題．