Question

已知函數f(x)=(a-

1

2

)x2-lnx(a∈R)
（I）當a=l時，求f（x）在（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）若在區間（1，+∞）上，函數f（x）＜2ax恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=l時，f(x)=

1

2

x2-lnx（x＞0），求導函數，確定函數在（0，e]上的單調性，從而可求函數的最小值；
（Ⅱ）在區間（1，+∞）上，函數f（x）＜2ax恒成立，即(a-

1

2

)x2-lnx-2ax＜0在區間（1，+∞）上恒成立，分類討論，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=l時，f(x)=

1

2

x2-lnx（x＞0），∴f′(x)=x-

1

x

∴函數在（0，1）上，f′（x）＜0，函數單調遞減，在（1，e]上，f′（x）＞0，函數單調遞增，
∴f（x）在（0，e]上的最小值為f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）在區間（1，+∞）上，函數f（x）＜2ax恒成立，即(a-

1

2

)x2-lnx-2ax＜0在區間（1，+∞）上恒成立
設g（x）=(a-

1

2

)x2-lnx-2ax，則g′（x）=（x+1）（2a-1-

1

x

）
x∈（1，+∞）時，x+1＞0，0＜

1

x

＜1
①若2a-1≤0，即a≤

1

2

，g′（x）＜0，函數在（1，+∞）上為減函數，∴g（x）＜g（1）=-

1

2

-a，
只需-

1

2

-a≤0，即-

1

2

≤a≤

1

2

時，g（x）＜0恒成立；
②若0＜2a-1＜1，即

1

2

＜a＜1時，令g′（x）=0，得x=

1

2a-1

＞1，函數在（1，

1

2a-1

）上為減函數，（

1

2a-1

，+∞）為增函數，
∴g（x）∈（g（

1

2a-1

），+∞），不合題意；
③若2a-1≥1，即a≥1時，g′（x）＞0，函數在（1，+∞）上增減函數，∴g（x）∈（g（1），+∞），不合題意
綜上可知，-

1

2

≤a≤

1

2

時，g（x）＜0恒成立
∴實數a的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，正確求導是關鍵．