Question

（本小題滿分12分）已知函數．

   （1）討論的單調性；

   （2）設，證明：當時，；

   （3）若函數的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x₀，

證明：（x₀）＜0．

 

Answer 1

【答案】

解：

（1） 單調增加，在單調減少.

  （2）當.

故當， 

  （3）見解析。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解單調性和及證明不等式等知識的運用。

（1）先求解然后求解

對于參數a分情況討論得到單調區間。

  （2）構造函數則其導數為

然后分析導數大于零或者小于零的解即可。

  （3）由（1）可得，當的圖像與x軸至多有一個交點，

故，從而的最大值為，這樣結合可知分析得到結論。

解：

（1） 

（i）若單調增加.

（ii）若且

所以單調增加，在單調減少.  ………………4分

  （2）設函數則

當.

故當，   ………………8分

  （3）由（1）可得，當的圖像與x軸至多有一個交點，

故，從而的最大值為不妨設由（2）得從而

由（I）知，   ………………12分