Question

某醫藥研究所開發一種抗甲流新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線．
（1）結合圖，求k與a的值；
（2）寫出服藥后y與t之間的函數關系式y=f（t）；
（3）據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.5微克時治療疾病有效，求服藥一次治療有效的時間范圍？

Answer 1

分析：（1）由函數圖象我們不難得到這是一個分段函數，第一段是正比例函數的一段，第二段是指數型函數的一段，由于兩段函數均過M（1，4），故我們可將M點代入函數的解析式，即可求出參數值；
（2）利用（1）的結論，即可得到函數的解析式．
（3）構造不等式f（t）≥0.25，可以求出每毫升血液中含藥量不少于0.25微克的起始時刻和結束時刻，即服藥一次治療有效的時間范圍．

解答：解：（1）由題意，當0≤t≤1時，函數圖象是一個線段，由于過原點與點（1，4），所以k=4，
其解析式為y=4t，0≤t≤1；
當t≥1時，函數的解析式為y=(

1

2

)t-a，
此時M（1，4）在曲線上，將此點的坐標代入函數解析式得4=(

1

2

)1-a，解得a=3；
（2）由（1）知，f(t)=

4t，0≤t≤1 ( 1 2 )t-3，t＞1

；
（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即

4t≥0.5，0≤t≤1 ( 1 2 )t-3≥0.5，t＞1

∴

1

8

≤t≤4．
答：（1）k=4，a=3；（2）函數關系式為f(t)=

4t，0≤t≤1 ( 1 2 )t-3，t＞1

；（3）服藥一次治療有效的時間范圍為

1

8

≤t≤4．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及分段函數求解析式和指數不等式的求解，同時考查了計算能力，屬于中檔題．