Question

 已知函數，其中e為自然對數的底數，且當x>0時恒成立．

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）求實數a的所有可能取值的集合；

（Ⅲ）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 減區間是,增區間是；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）確定定義域，求，由 求得增區間，由 求得減區間；（Ⅱ）利用在區間上，恒成立，則求解；（Ⅲ）利用構造法，構造新函數求解.

試題解析：(Ⅰ),,，

的減區間是,增區間是.                        (2分)

(Ⅱ)恒成立,即,

,恒成立.                               (3分)

設,,

由于在上是增函數,且,

時,是減函數,時,是增函數,

,從而若恒成立,必有.   (5分)

又,的取值集合為.                                (6分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即,當且僅當時等號成立,

時,有.      

,                        (9分)

設,

則,

當時,是減函數,

當時,是增函數,

,即成立.                     (12分)

考點：導數法判斷函數的單調性，恒成立，構造法.