Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側棱PC上一點，它的正（主）視圖和側（左）視圖如圖所示．
（1）證明：AD⊥平面PBC；
（2）求三棱錐D-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABC，知PA⊥BC，由AC⊥BC，知BC⊥平面PAC，從而得到BC⊥AD．由此能夠證明AD⊥平面PBC．
（2）由三視圖得BC=4，由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，由此能求出三棱錐的體積．

解答：.（本小題滿分12分）
解：（1）因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．
由三視圖可得，在△PAC中，PA=AC=4，D為PC中點，所以AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
（2）由三視圖可得BC=4，
由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，
又三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積，
所以，所求三棱錐的體積V=

1

3

×

1

2

×4×

1

2

×4×4=

16

3

．

點評：本題考查利用幾何體的三視圖求直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．