Question

（本小題滿分12分）

已知各項均為正數的數列滿足, 且,

其中．

（I）求數列的通項公式;

（II）設數列的前項和為,令,其中,試比較與的大小,并加以證明．

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ)因為,即

又,所以有,所以

所以數列是公比為的等比數列.     …………………………………………3分

由得, 解得.

故數列的通項公式為.  ……………………………………….6分

（II）因，所以

即數列是首項為,公比是的等比數列.

所以，……………………………………….……………………………………7分

則

又 .   ……………………………………8分

法一：數學歸納法

猜想

①當時，,上面不等式顯然成立；

②假設當時，不等式成立

當時，.

綜上①②對任意的均有……………………………………….10分

法二：二項式定理：因為,

所以

.

即對任意的均有.   ……………………………………..10分

又,  

所以對任意的均有.   ………………………….12分

 

【解析】略