Question

下列說(shuō)法中：
①函數(shù)f(x)=

1

lgx

在(0，+∞)是減函數(shù)；
②在平面上，到定點(diǎn)（2，-1）的距離與到定直線3x-4y-10=0距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；
③設(shè)函數(shù)f(x)=cos(

3

x+

π

6

)，則f（x）+f'（x）是奇函數(shù)；
④雙曲線

x2

25

-

y2

16

=1的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離是5；
其中正確命題的序號(hào)是

③

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義以及函數(shù)奇偶性的定義和雙曲線的性質(zhì)等對(duì)每一個(gè)選支進(jìn)行逐一判定．

解答：解：①函數(shù) f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上lgx有正有負(fù)，如-1＜2，而-1＜

1

2

，故不是單調(diào)函數(shù)，故不正確；
②在平面上，點(diǎn)（2，-1）在直線3x-4y-10=0上，距離相等的點(diǎn)的軌跡是過(guò)該點(diǎn)且與直線3x-4y-10=0垂直的直線；
③f（x）+f'（x）=cos（

3

x+

π

6

）-

3

sin（

3

x+

π

6

）=f（-x）+f'（-x），故③正確；
④雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（

41

，0），漸近線方程為y=±

4

5

x，焦點(diǎn)到漸近線的距離d=

|4 41 |

16+25

=4，故④不正確．
故答案為：③

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、周期性，以及函數(shù)的極值和拋物線的定義等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．