Question

已知關于x的方程|x²-2x-3|-a=0，該方程實數解的個數有如下判斷：
①若該方程沒有實數根，則a＜-4
②若a=0，則該方程恰有兩個實數解
③該方程不可能有三個不同的實數根
④若該方程恰有三個不同的實數解，則a=4
⑤若該方程恰有四個不同的實數解，則0＜a＜4
其中正確判斷的序號是________．

Answer 1

②④⑤
分析：將方程|x²-2x-3|-a=0的實數解的個數問題轉化為函數圖象的交點問題，作圖分析即得答案．
解答：解：關于x的方程|x²-2x-3|-a=0，即|x²-2x-3|=a，
分別畫出y=|x²-2x-3|與y=a的圖象，如圖．
①若該方程沒有實數根，則a＜0；故①錯；
②若a=0，則該方程恰有兩個實數解；②對；
③若a=4時，該方程有三個不同的實數根，故③錯；
④若該方程恰有三個不同的實數解，則a=4，④對；
⑤若該方程恰有四個不同的實數解，則0＜a＜4，正確．
其中正確判斷的序號是 ②④⑤．
故答案為：②④⑤．
點評：本題考查了根的存在性及根的個數判斷．華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微．數形結合百般好，隔離分家萬事非．”數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質．