Question

若A，B，C是上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

1

3

[(1-t)

OA

+(1-t)

OB

+(1+2t)

OC

]（t∈R且t≠0），則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

A．內(nèi)心

B．垂心

C．外心

D．AB邊的中點(diǎn)

Answer 1

分析：根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則向量的運(yùn)算法則，對(duì)

OP

=

1

3

[(1-t)

OA

+(1-t)

OB

+(1+2t)

OC

]進(jìn)行化簡(jiǎn)，取AB的中點(diǎn)D，得到

2(1-t)

3

OD

+

1+2t

3

OC

，根據(jù)三點(diǎn)共線的充要條件知道P、C、D三點(diǎn)共線，t≠0，則點(diǎn)P的軌跡一定不經(jīng)過△ABC的重心，但點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的AB邊的中點(diǎn)．

解答：解：取AB的中點(diǎn)D，則 2

OD

=

OA

+

OB

∵

OP

=

1

3

[(1-t)

OA

+(1-t)

OB

+(1+2t)

OC

]
∴

OP

=

1

3

[(1-t)(2

OD

)+(1+2t)

OC

]
=

2(1-t)

3

OD

+

1+2t

3

OC

，
而

2(1-t)

3

+

1+2t

3

=1，
∴P、C、D三點(diǎn)共線，
∵t≠0
∴點(diǎn)P的軌跡為直線CD，且不過重心，但一定經(jīng)過AB的中點(diǎn)D．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用、三點(diǎn)共線的充要條件的應(yīng)用、三角形五心等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．