Question

已知

a

，

b

是非零向量，且滿足（

a

-2

b

）⊥

a

，（

b

-2

a

）⊥

b

，則

a

與

b

的夾角是

60

°．

Answer 1

分析：由已知中，（

a

-2

b

）⊥

a

，（

b

-2

a

）⊥

b

，結合兩個向量垂直則數量積為0的原則，我們易得（

a

-2

b

）•

a

=0且（

b

-2

a

）•

b

=0，進而探究出|

a

|、|

b

|與

a

•

b

的關系，然后代入向量夾角公式即可得到答案．

解答：解：∵（

a

-2

b

）⊥

a

∴（

a

-2

b

）•

a

=0
即

a

²=2

a

•

b

即|

a

|²=2

a

•

b

，|

a

|=

2 a • b

又∵（

b

-2

a

）⊥

b

，
∴（

b

-2

a

）•

b

=0
即

b

²=2

a

•

b

即|

b

|²=2

a

•

b

，|

b

|=

2 a • b

∴cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

1

2

∴θ=60°
故答案為：60

點評：本題考查的知識點是平面向量數量積的坐標表示、模、夾角，其中cosθ=

a • b

| a |•| b |

是利用向量求角的唯一公式，要求大家熟練掌握．