Question

（2012•棗莊二模）已知定義在R上的函數f（x）滿足f(x+

3

2

)=-f(x)，且函數y=f(x-

3

4

)為奇函數，給出三個結論：
①f（x）是周期函數；②f（x）是圖象關于點（-

3

4

，0）對稱；③f（x）是偶函數．其中正確結論的個數為（　　）

A．3

B．2

C．1

D．O

Answer 1

分析：①函數f（x）滿足f(x+

3

2

)=-f(x)，則f（x+3）=-f(x+

3

2

)=f(x)，故f（x）是周期函數；
②函數y=f(x-

3

4

)為奇函數，可得f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，故f（x）是圖象關于點（-

3

4

，0）對稱；
③由f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，可得f（-x）=-f(x-

3

2

)=-f(x+

3

2

)=f(x)，即f（x）是偶函數．

解答：解：函數f（x）滿足f(x+

3

2

)=-f(x)，則f（x+3）=-f(x+

3

2

)=f(x)，∴f（x）是周期函數，故①正確；
∵函數y=f(x-

3

4

)為奇函數，∴f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，∴f（x）是圖象關于點（-

3

4

，0）對稱，故②正確；
∵f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，∴f（-x）=-f(x-

3

2

)=-f(x+

3

2

)=f(x)，∴f（x）是偶函數，故③正確
綜上，正確結論的個數為3個
故選A．

點評：本題考查抽象函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．