Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

3

2

，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△_PMN=

3

2

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為

3

2

，橢圓過定點P（2，1）及條件a²=b²+c²聯立可求a²，b²，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）設出過P點的直線方程，和橢圓方程聯立后由根與系數關系求出A的坐標，同理求出B的坐標，由兩點式求出過AB直線的斜率，再設出AB的斜截式方程，利用三角形PMN的面積等于

3

2

就能求出截距，則直線AB的方程可求．

解答：解：（Ⅰ）由題意：

c2

a2

=

3

4

，∴c2=

3

4

a2，∴b2=a2-c2=a2-

3

4

a2=

1

4

a2①．
又∵P（2，1）在橢圓上，所以

4

a2

+

1

b2

=1②．
聯立①②得：a²=8，b²=2．
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設直線PA的方程為y-1=k（x-2），代入橢圓方程得：x²+4[k（x-2）+1]²=8，
整理得：（1+4k²）x²-8（2k-1）x+16k²-16k-4=0．
∵方程一根為2，由根與系數關系得2xA=

16k2-16k-4

1+4k2

，∴xA=

8k2-8k-2

1+4k2

．
則yA=1+k(

8k2-8k-2

1+4k2

-2)=

-4k2-4k+1

1+4k2

．
∴A(

8k2-8k-2

1+4k2

，

-4k2-4k+1

1+4k2

)．
∵PA與PB傾斜角互補，∴k_PB=-k_PA=-k．
則B(

8k2+8k-2

1+4k2

，

-4k2+4k+1

1+4k2

)．
∴kAB=

yB-yA

xB-xA

=

-4k2+4k+1 1+4k2 - -4k2-4k+1 1+4k2

8k2+8k-2 1+4k2 - 8k2-8k-2 1+4k2

=

1

2

．
設直線AB方程為y=

1

2

x+m，即x-2y+2m=0，
則M（-2m，0），N（0，m）（m＜0），
P到直線AB的距離為d=

|2m|

5

．
|MN|=

4m2+m2

=

5

|m|．
∴SPMN=

1

2

×

|2m|

5

×

5

|m|=

3

2

．解得m=-

6

2

，或m=

6

2

（舍）．
所以所求直線AB的方程為x-2y-

6

=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、面積問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．