Question

已知函數
(I)當時，討論函數的單調性：
(Ⅱ)若函數的圖像上存在不同兩點，，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數是“中值平衡函數”，切線叫做函數的“中值平衡切線”.
試判斷函數是否是“中值平衡函數”？若是，判斷函數的“中值平衡切線”的條數；若不是，說明理由.

Answer 1

(I) 當時,函數的遞增區間是,遞減區間是
當時，函數的遞增區間是和，遞減區間是
(Ⅱ) 函數不是“中值平衡函數”

解析試題分析：（1）
當即時，，函數在定義域上是增函數；
當即時,由得到或，
所以：當時，函數的遞增區間是和，遞減區間是；
當即時，由得到：，
所以:當時,函數的遞增區間是,遞減區間是；       
（2）若函數是“中值平衡函數”，則存在（）使得
即，
即，（*）
當時，（*）對任意的都成立，所以函數是“中值平衡函數”，且函數的“中值平衡切線”有無數條；
當時，設，則方程在區間上有解，
記函數，則，
所以當時，，即方程在區間上無解，
即函數不是“中值平衡函數”.
考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．
點評：此題考查學生會利用導函數的正負求出函數的單調區間，靈活運用中點坐標公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．