Question

（本小題滿分12分）A（理）已知函數，其中.

(1)若存在，使得成立，求實數的取值范圍；

(2)求函數的值域.

 

Answer 1

【答案】

(1)實數的取值范圍是；

(2)

【解析】(1) 方法一：存在，使得，

即存在，使得，

當時，滿足要求；

當時，滿足要求；                                           

當時，，解得                                

綜上得，                                    ------4分

方法二：存在，使得，即存在，使得

顯然，分離參數得，∴

而，其中

∴

∴                          ------4分

(2)

∴ =

=   ------6分

設，，則轉化為求函數的值域.    

當時，，此時函數在上為減函數，

∴函數的值域為，即

當時，

此時函數在上為減函數，

∴函數的值域為，即      ------8分

當時，

令，解得或（舍）.

當變化時，與的變化情況如下表：

		0
		極小值

    

 

 

 

 

 

 

若，即 時，函數在上為減函數.

∴函數的值域為，即

若，即 時，函數在上遞減，在上遞增

∴

函數在上的最大值為與中的較大者.

∵，，∴

∴當時，，此時；

當時，，此時；

當時，，此時  ------11分

綜上，

當時，函數的值域為；

當時，函數的值域為；

當時，函數的值域為               ------12分