Question

（2012•楊浦區二模）如圖，橢圓C₁：

x2

4

+y²=1，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長．
（1）求實數b的值；
（2）設C₂與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C₂相交于點A、B，直線MA、MB分別與C₁相交與D、E．
①證明：MD•ME=0；
②記△MAB，△MDE的面積分別是S₁，S₂．若

S1

S2

=λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定半長軸為2，利用x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長，可求b的值；
（2）①設直線的方程與拋物線方程聯立，利用點M的坐標為（0，-1），可得k_MAk_MB=-1，從而得證；
②設直線的斜率為k₁，則直線的方程為y=k₁x-1，代入拋物線方程可得x²=k₁x，從而可得點A的坐標、點B的坐標，進而可得S₁，同理可得S₂，進而可得比值，由此可得λ的取值范圍．

解答：（1）解：由題意知：半長軸為2，則有2

b

=2              …（3分）
∴b=1                                 …（4分）
（2）①證明：由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線的方程為y=kx．
與拋物線方程聯立，消去y可得x²-kx-1=0，…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個實根，于是x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．…（7分）
又點M的坐標為（0，-1），所以k_MAk_MB=

y1+1

x1

×

y2+1

x2

=

-k2+k2+1

-1

=-1…（9分）
故MA⊥MB，即MD⊥ME，故

MD

•

ME

=0                …（10分）
②設直線的斜率為k₁，則直線的方程為y=k₁x-1，代入拋物線方程可得x²=k₁x，解得x=0或x=k₁，則點A的坐標為（k₁，k12-1） …（12分）
同理可得點B的坐標為(-

1

k1

，

1

k12

-1)．
于是S1=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+k12

|k1|×

1+ 1 k12

×|-

1

k1

|=

1+k12

2|k1|

直線的方程為y=k₁x-1，代入橢圓方程，消去y，可得（1+4k12）x²-8k₁x=0，解得x=0或x=

8k1

1+4k12

，則點D的坐標為(

8k1

1+4k12

，

4k12-1

1+4k12

)；    …（14分）
同理可得點E的坐標(

-8k1

4+k12

，

4-k12

4+k12

)
于是S₂=

1

2

|MD||ME|=

32(1+k12)|k1|

(1+4k12)(4+k12)

因此

S1

S2

=

1

64

(4k12+

4

k12

+17)，…（16分）
又由點A，B的坐標可知，k=

k12- 1 k12

k1+ 1 k1

=k1-

1

k1

，平方后代入上式，
所以λ=

4k2+25

64

≥

25

64

故λ的取值范圍為[

25

64

，+∞）．                               …（18分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．